二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫作x的二次函数.如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2+x-1等都是二次函数。
注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式;
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数;
(3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数;
(4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x，故它不是二次函数。
二次函数y=ax2+c的图象与性质
(1)抛物线y=ax2+c的形状由a决定，位置由c决定。
(2)二次函数y=ax2+c的图像是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y轴。
当a>0时，图像的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c.在y轴左侧，y随x的增大而减小;在y轴右侧，y随x增大而增大。
当a<0时，图像的开口向下，有点(即顶点)，当x=0时，y值=c.在y轴左侧，y随x的增大而增大;在y轴右侧，y随x增大而减小。
(3)抛物线y=ax2+c与y=ax2的关系。
抛物线y=ax2+c与y=ax2形状相同，只有位置不同.抛物线y=ax2+c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到.当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动。
二次函数的平移规律口诀
上加下减，左加右减
y=a(x+b)2+c，是将y=ax2的二次函数图像按以下规律平移
(1)c>0时，图像向上平移c个单位(上加上)。
(2)c<0时，图像向下平移c个单位(下减)。
(3)b>0时，图像向左平移b个单位(左加)。
(4)b<0时，图像向右平移b个单位(右减)。
二次函数与一元二次方程
二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c。
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax2+bx+c=0。
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图像形状相同，只是位置不同。当h>0时，y=a(x-h)2的图像可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到。
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。
当h>0，k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图像。
当h>0，k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图像。
当h<0，k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图像。
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图像。
因此，研究抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图像提供了方便。
2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b2]/4a)。
3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小。
4.抛物线y=ax2+bx+c的图像与坐标轴的交点：
(1)图像与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)。
(2)当△=b^2-4ac>0，图像与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x-x|。
当△=0．图象与x轴只有一个交点；当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图像落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图像落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。
5.抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a。
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。
用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图像经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)。
(2)当题给条件为已知图像的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)。
(3)当题给条件为已知图像与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0)。
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